Prezentarea pătratelor magice. Pătrate magice. Cunoașterea caracterului unei persoane

Aristeev Serghei

Această lucrare răspunde la întrebările: ce sunt pătratele magice și cum să construiești unul? Este dată legenda despre pătratul magic. Sunt enumerate diferite metode de construire a pătratelor magice: metoda terasei, metoda cadrelor pătrate, metoda Rouse-Ball, metoda Delaire. Se oferă lucrări practice de compunere a pătratelor magice

Descărcați:

Previzualizare:

A folosi previzualizare prezentări creați-vă un cont ( cont) Google și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrările diapozitivelor:

Pătrate magice Lucrarea lui Serghei Aristeev, un elev de clasa a V-a la Instituția de Învățământ Municipal „Școala Gimnazială Kamyshovskaya” din districtul Limansky din regiunea Astrakhan Supraveghetorul Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, profesor de matematică în satul Kamyshova, 2013 „Compilarea de pătrate magice este un excelent gimnastica mentală care dezvoltă capacitatea de a înțelege ideile de plasare, combinație și simetrie.” Leonard Euler

răspunde la întrebarea: ce este un pătrat magic și cum să-l construiești. Scopul proiectului: Obiectivele proiectului: Studiați literatura despre această problemă. Aflați istoria pătratelor magice. Învață să construiești pătrate magice în moduri diferite.

Enunțarea problemei Legenda pătratului magic Cum se compun pătrate magice Regula „lo-shu” Metoda Rouse-Ball Metoda terasei Metoda cadrelor pătrate Metoda Delaire sau metoda pătratului latin Concluzie. Conținutul literaturii

Aranjați numerele naturale de la 1 la 9 astfel încât suma numerelor din coloane și rânduri să fie aceeași. Pentru a rezolva această problemă, să trecem la istorie. Enunțarea problemei

În cartea veche chineză „Zhe-kim” („Cartea Permutărilor”) există o legendă că împăratul Nu, care a trăit acum 4 mii de ani, a văzut o țestoasă sacră pe malul râului. Pe coaja ei era un model de cercuri albe și negre. Dacă înlocuiți fiecare cifră cu un număr care indică câte cercuri sunt în ea, obțineți următorul tabel: Legenda Pătratului Magic

Această masă are o proprietate minunată. Să adunăm numerele din prima coloană: 4 +3 + 8=15. Același rezultat se va obține prin adăugarea numerelor din a doua și a treia coloană. Se obține și prin adăugarea numerelor din oricare dintre cele trei linii. Același răspuns, 15, se obține dacă se adună numerele fiecăreia dintre cele două diagonale: 4+5+6=8+5+2=15. Probabil că chinezii au venit cu această legendă când au găsit aranjarea numerelor de la 1 la 9 cu o proprietate atât de remarcabilă. Au numit desenul „Lo-shu” și au început să-l considere un simbol magic și să-l folosească în vrăji. Prin urmare, acum orice tabel pătrat format din numere și având această proprietate se numește pătrat magic.

Un pătrat numeric se numește magic dacă sumele S ale fiecărui rând orizontal, ale fiecărui rând vertical și ale ambelor diagonale sunt aceleași. Un pătrat numeric de ordinul n, unde n este un număr natural, este un pătrat împărțit în celule care conțin numere naturale de la 1 la Cum se numește un pătrat magic?

K pătratele pot fi obținute din lo shu fie prin rotirea pătratului în jurul centrului cu 90°, 180° sau 270°, fie prin oglindirea acestuia. Dacă s-a găsit deja un pătrat magic, atunci din el puteți folosi metodele descrise mai sus (rotații și reflexii în oglindă) pentru a obține încă 7 pătrate magice. Se obțin pătrate magice noi: prin metoda terasei, prin metoda cadrelor pătrate, prin metoda Delaire, sau prin metoda pătratului latin Cum sunt compuse pătratele magice?

Pătratul magic lo-shu poate fi găsit fără a recurge la parcurgerea tuturor aranjamentelor a 9 numere în 9 celule una după alta (numărul de astfel de aranjamente este de 362.880). Să gândim așa. Suma tuturor numerelor de la 1 la 9 este egală cu: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Aceasta înseamnă că în fiecare rând și în fiecare coloană suma numerelor ar trebui să fie egală cu: 45:3=15. Dar dacă însumați toate numerele din a doua coloană și rând și din ambele diagonale, atunci fiecare număr va apărea o dată, cu excepția celui central, care va apărea de patru ori. Aceasta înseamnă că dacă notăm numărul central cu x, atunci egalitatea 4-15 = = 3x + 3-15 trebuie să fie valabilă. Prin urmare, x=5, adică numărul 5 ar trebui să fie în centrul tabelului Regula „lo-shu”.

Nu este dificil să scrieți un pătrat magic de ordinul al patrulea: pentru a face acest lucru, scriem în ordine numerele de la 1 la 16 în pătrat. Acum să schimbăm numerele din colțurile opuse ale întregului pătrat și ale pătratului interior: metoda Rose-Ball 1 5 2 3 7 9 10 11 6 13 4 16 12 8 14 15 16 13 4 1 11 10 7 6 16 2 5 3 9 4 14 15 1 8 12 11 10 7 6

Instrucțiuni Cu diagonalele, nu numai colțurile pătratului sunt conectate, ci și mijlocul laturilor acestuia, adică diagonalele sunt desenate în patru pătrate de colț 4x4 (vezi figura); Vor fi șaisprezece perechi de numere reciproc simetrice care trebuie schimbate: 1-64, 10-55, 19-46, 28-37, 8-57, 15-50, 22-43, 29-36, 4-61 , 5 -60, 11-54, 14-51, 18-47, 23-42, 25-40, 32-33. Construcția unui pătrat magic de ordinul al optulea prin metoda Rose-Ball

Pătrat magic de ordinul al optulea complet construit prin metoda Rouse-Ball 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 28 3 28 3 2 3 2 3 2 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

Matematicienii au inventat mai multe metode de construire a pătratelor magice, folosind metoda terasei, care este folosită pentru a construi pătrate magice de ordin impar: al cincilea, al șaptelea etc. Să luăm în considerare exemplul unui pătrat magic de ordinul trei. . Terasele algoritmului sunt adăugate pătratului original de 3x3 pe patru laturi. În figura rezultată, numerele de la 1 la 9 sunt aranjate în ordine naturală în rânduri oblice de jos în sus. Numerele din terasele care nu se încadrează în pătrat se deplasează, parcă împreună cu terasele, în interiorul acestuia, astfel încât să se alăture părților opuse ale pătratului (numerele care nu se încadrează în pătratul umbrit sunt deplasate cu n = 3 unități). : 1 - jos, 3 - la stânga, 9 - sus, 7 - dreapta). Deci, să luăm în considerare metoda teraselor, umplerea unui pătrat magic de ordin impar folosind pătratele de ordinul 3 ca exemplu. Scriem numerele astfel: numerele care nu se încadrează în pătratul umbrit sunt deplasate cu n=3 unități: 1 – jos, 3 – stânga, 9 – sus, 7 – dreapta. Obținem pătratul magic 3 3. Suma numerelor = 15. METODA TERESA 1 4 2 7 5 3 8 6 9 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Acum vom construi un pătrat magic de ordinul al cincilea folosind metoda terasei. Vom umple pătratul pas cu pas, conform algoritmului. 1. Au fost adăugate terase pătratului original de 5x5 pe patru laturi. În figura rezultată, aranjam numerele de la 1 la 25 în ordine naturală în rânduri oblice de jos în sus, ca în exemplul cu un pătrat de ordinul trei. 2. Numerele care nu se încadrează în pătratul selectat sunt deplasate cu n=5 unități: 1,2,6 – în jos, 4,5,10 – la stânga, 24,25,20 – în sus, 16,21, 20 – la dreapta. Se obține: Construcția unui pătrat magic n=5

Lucrări practice. 1 6 2 11 7 3 16 12 8 4 21 17 13 9 5 22 18 14 10 23 19 15 24 20 25 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 16 17 1 2 1 2 1 2 1 2 1 6 19 2 15

folosind metoda terasei, puteți construi nu numai un pătrat magic tradițional de ordin impar, ci și un pătrat umplut cu orice alte numere, atâta timp cât diferența dintre fiecare număr următor și precedent este constantă. Așadar, în imagine vezi un pătrat magic neconvențional de ordinul al cincilea, umplut cu numere pare de la 2 la 50, construit prin metoda terasei.

6 32 18 44 30 40 16 42 28 4 14 50 26 2 38 48 24 10 36 12 22 8 34 20 46 În imagine vezi un pătrat magic neconvențional de ordinul cinci, umplut cu numerele pare, de la 2 la 50 metoda terasei.

Un pătrat magic de ordin par-par este un pătrat de ordin n=4 m (m=1,2,3...), adică ordinea unui astfel de pătrat este divizibil cu 4. Pentru pătratele magice de par- chiar ordine, se folosește metoda cadrelor pătrate. Algoritm Cadre pătrate cu o latură jumătate din dimensiunea laturii pătratului original (vezi figura) sunt desenate pe câmpul matricei (cu pătratul original de 8x8 reprezentat pe el) cu un pas de o celulă în diagonală (sau două celule în rânduri și coloane). Apoi numerele de la 1 la 2n sunt așezate în ordine de-a lungul liniilor cadrelor, începând din colțul din stânga sus al pătratului original, primul cadru mergând în sensul acelor de ceasornic, al doilea cadru începând din celula liberă superioară din dreapta pătratului. și mergând în sens invers acelor de ceasornic etc. Numerele, cele care nu cad în pătrat sunt transferate în interiorul acestuia, astfel încât să se alăture laturi opuse ale pătratului. Pătratul magic terminat este prezentat în Fig. Metoda cadrului pătrat.

9 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 13 12 14 15 16 17 18 19 21 20 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

4 5 3 6 2 21 20 7 1 22 19 8 16 23 36 37 18 9 24 15 35 38 10 17 25 34 14 53 52 11 39 32 33 26 54 13 12 51 31 40 48 55 27 30 50 41 56 47 28 29 42 49 57 46 43 64 58 45 44 63 59 62 60 61

Patrat magic de 8 ordine gata

Definiţie. Un pătrat latin generalizat de ordinul n este un tabel pătrat de mărime n · n, dintre ale cărui elemente sunt distincte doar n elemente, iar oricare dintre cele n elemente distincte apare exact de n ori în cadrul acestui tabel. Descrierea metodei de construcție: Etapa 1. Construim un pătrat latin generalizat de ordinul n după cum urmează: fiecare rând din jumătatea inferioară a pătratului este umplut prin alternarea secvențială a numerelor i și n-i-1, unde i este număr de serie linii (liniile sunt numerotate de jos în sus cu numere întregi de la 0 la n-1); jumatatea superioara a patratului se obtine din jumatatea inferioara prin reflexie fata de axa verticală simetrie. Etapa 2. Construim al doilea pătrat latin generalizat din primul. Pentru a face acest lucru, trebuie să rotiți pătratul construit în prima etapă cu 90 de grade în sensul acelor de ceasornic. Observ că cele două pătrate latine obținute în acest fel vor fi ortogonale, dar nu am dat o definiție a pătratelor latine ortogonale, deoarece acest lucru nu contează pentru înțelegerea metodei de construcție prezentate. Etapa 3. Construim un pătrat perfect după cum urmează. Să notăm elementele primului pătrat latin drept elementele celui de-al doilea pătrat latin - atunci fiecare element corespunzător al unui pătrat perfect se obține prin formula: n + + 1 Construcția unui pătrat magic prin metoda Delaire, sau metoda de pătrate latine.

Primul Al doilea Pătrat latin magic Pătrat latinesc de ordinul al patrulea 2 1 2 1 1 3 0 3 0 1 2 1 2 0 3 0 3 0 1 3 2 3 2 0 1 0 1 3 2 3 2 0 1 9 6 12 7 16 3 13 2 5 10 8 11 4 15 1 14 Pentru partea de jos a pătratului: primul rând: i = 0, 4-i- 1= 4-0-1=3. Numerele 0 și 3 alternează A doua linie: i =2, 4-2-1=1. Numerele 2 și 1 se alternează. Pentru partea superioară a pătratului, reflectăm simetric numerele părții inferioare (de-a lungul săgeților). i = 3 i = 2 i = 1 i = 0 Obținut din primul pătrat prin rotirea cu 90° în sensul acelor de ceasornic. Am obținut-o folosind formula =2·4+0+1=9 = 1·4+1+1=6 = 2·4+3+1=12 = 1·4+2+1=7 = 3·4 +3+ 1=16 = 0·4+2+1=3 = 3·4+0+1=13 și așa mai departe 1 2 3 4 1 2 3 4

Apariția pătratelor magice datează din cele mai vechi timpuri. Se pare că cele mai vechi informații despre ei sunt conținute în cărțile chineze scrise în secolele IV - V. î.Hr e. Dintre străvechile pătrate magice care au ajuns până la noi, cea mai „veche” este masa Lo-shu (2200 î.Hr.). Următoarele cele mai recente informații despre pătratele magice ne-au venit din India și Bizanț. În Europa, imaginea pătratelor magice se găsește pentru prima dată în gravura „Melancolie” a artistului german Albrecht Dürer (1514). Acest pătrat magic este format din 16 celule: 4 rânduri și 4 coloane, umplute cu numere naturale de la 1 la 16. În el, suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și două diagonale este 34. Numerele din mijloc din rândul de jos (15 și 14) înseamnă că data 1514 este anul publicării acestei gravuri de către A. Durer. Mulți matematicieni au studiat metode de alcătuire a pătratelor magice: în secolul al XVI-lea. A. Riese și M. Stiefel, în secolul al XVII-lea. A. Kircher şi Bachet de Meseriac. Teoria pătratelor magice a fost studiată de matematicianul francez Delaire. Leonhard Euler a venit cu metoda cavalerilor de șah pentru a construi câteva pătrate magice. Teoria pătratelor magice nu poate fi în niciun caz considerată completă. Metoda generală de construire a tuturor pătratelor magice este încă necunoscută, iar numărul lor este necunoscut.

Dicționar explicativ de termeni matematici. O.V. Ya. V. Uspensky Divertismente matematice selectate. - Semănător, 1924. B. A. Kordemsky Ingeniozitate matematică. - M.: GIFML, 1958. - 576 p. M. M. Postnikov Pătrate magice. - M.: Nauka, 1964. N. M. Rudin De la pătratul magic la șah. - M.: Cultură fizică și sport, 1969. E. Ya Gurevich Misterul talismanului antic. - M.: Nauka, 1969. M. Gardner Timp liber matematic. - M.: Mir, 1972. Dicţionar enciclopedic al unui tânăr matematician. - M.: Pedagogie, 1989. Yu V. Chebrakov Pătrate magice. Teoria numerelor, algebră, analiză combinatorie. - Sankt Petersburg: Statul Sankt Petersburg. tehnologie. Univ., 1995. Yu V. Chebrakov Teoria matricelor magice. - Sankt Petersburg, 2008. M. Gardner Capitolul 17. Pătrate și cuburi magice // Călătorie în timp. - M.: Mir, 1990. Abordarea șahului LITERATURA

Aranjand numerele in randuri regulate, unul sub celalalt, daca ai noroc, le poti adauga de la stanga la dreapta si de sus in jos, de fiecare data cand primesti acelasi numar. Dacă împărțiți numerele pe linii, astfel încât fiecare dintre ele să ajungă într-o cușcă separată, ca păsările în casa unui păsărit, veți obține un pătrat populat de numere, cine știe ce promite proprietarul său, dar, desigur, posedă puteri magice. .

Un pătrat magic sau magic este un tabel pătrat umplut cu numere în așa fel încât suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe ambele diagonale să fie aceeași Suma S a numerelor din fiecare rând, pe fiecare coloană și pe oricare diagonala se numește constanta pătratului și este egală cu S = n(n2 + 1)/2.

Țara în care a fost inventat pentru prima dată pătratul magic este tocmai necunoscută, secolul este necunoscut, nici măcar mileniul nu poate fi determinat cu certitudine. Primele mențiuni despre pătratele magice au fost printre vechii chinezi. Potrivit legendei, în timpul domniei împăratului Yu (c. î.Hr.), din apele râului Galben (Râul Galben) a ieșit la suprafață o țestoasă sacră, pe a cărei carapace erau înscrise hieroglife misterioase, iar aceste semne sunt cunoscute sub numele de Lo-shu și sunt echivalent cu un pătrat magic.

În antichitate, pătratele magice erau foarte respectate și le erau atribuite diverse proprietăți mistice. Se spune că, dacă trebuia să te hotărăști asupra unor afaceri periculoase, erau desenați pe hârtie în scopuri magice și mâncați. Același fel de mâncare era oferit ca un panaceu pentru toate bolile. Se credea că un pătrat magic gravat pe argint protejează împotriva ciumei.

Nu există 2*2 pătrate magice. Există doar un pătrat magic 3*3, deoarece celelalte 3*3 pătrate magice sunt obținute din acesta fie prin rearanjarea rândurilor sau coloanelor, fie prin rotirea pătratului original cu 90º sau 180º cu 8 astfel de pătrate.

Pătratul magic 4x4 descris în gravura lui Albrecht Durer „Melancolie I” este considerat cel mai vechi din arta europeană. Două numere mijlocii în rândul de jos indicați data realizării picturii (1514). gravură de Albrecht Dürer1514 Suma numerelor de pe orice orizontală, verticală și diagonală este 34. Această sumă se găsește și în toate pătratele de colț 2x2, în pătratul central (), în pătratul celulelor de colț (), în pătratele construite de către „mișcare de cavaler” (și ), în dreptunghiuri formate din perechi de celule din mijloc pe laturile opuse (i). Cele mai multe simetrii suplimentare provin din faptul că suma oricăror două numere situate central simetric este 17.

Pătratul Dürer are o dimensiune de 4 x 4 și este format din primele șaisprezece numere naturale, a căror sumă în fiecare rând, coloană și diagonală este 34. Se dovedește că sumele celorlalte patru numere sunt, de asemenea, egale cu 34: cele situate în centru, în celulele de colț, pe laturile pătratului central și formând totodată patru pătrate egale în care poate fi împărțit pătratul inițial

Benjamin Franklin a construit un pătrat de 16x16 care, pe lângă faptul că avea o sumă constantă de 2056 în toate rândurile, coloanele și diagonalele, mai avea o proprietate suplimentară. Dacă tăiem un pătrat de 4x4 dintr-o foaie de hârtie și punem această foaie pe un pătrat mare, astfel încât 16 celule din pătratul mai mare să cadă în acest slot, atunci suma numerelor care apar în acest slot, indiferent unde l-am pune , va fi același - 2056.

Întocmirea unui pătrat magic După ce am desenat un pătrat, împărțit în nouă celule, scriem în ordine numerele de la 1 la 9, aranjandu-le în rânduri oblice de trei la rând, așa cum se arată în figură. Scriem numerele în afara pătratului în interiorul acestuia, astfel încât să se alăture părților opuse ale pătratului (în timp ce rămân în aceleași coloane sau rânduri ca înainte)

Pătratul magic al lui Pitagora Marele om de știință Pitagora credea că totul în lume este controlat de numere. Prin urmare, esența unei persoane constă și în număr - data nașterii. Pe vremea lui Pitagora, pătratele magice pentru fiecare persoană erau create individual prin adăugarea și scăderea anumitor numere din data nașterii sale.

Pătratele magice atrag atenția nu numai a specialiștilor, ci și a iubitorilor de jocuri matematice. În ultimul secol, a existat o creștere semnificativă a numărului de cărți distractive de matematică care conțin puzzle-uri și probleme care implică pătrate neobișnuite. Rezolvarea lor cu succes necesită ingeniozitate și capacitatea de a observa modele numerice. Rezolvarea unor astfel de probleme nu numai că va aduce plăcere celor care sunt interesați de matematică, ci va servi și ca o excelentă „gimnastică mentală”.

MBOU "Vozhegodskaya SS"

Patrat magic

Lecție de club de matematică în clasa a V-a

Scopul lucrării:

Familiarizați-vă cu pătratele magice.

1. Aflați istoria apariției pătratelor.

2. Explorați proprietățile pătratelor.

3. Învață regulile de completare a pătratelor.

3. Învață să completezi corect și rapid un pătrat magic 3 pe 3.

S-a format UUD

Cognitiv: dovediți, trageți concluzii, construiți un raționament logic solid.

de reglementare: determina scopul, problema activității; a prezentat versiuni; autocontrol și corectare.

Comunicativ: exprimați-vă părerea, organizați munca în perechi (puneți întrebări, dezvoltați o soluție).

Personal: atitudine respectuoasă față de colegii de clasă, conștientizarea necesității de a dobândi cunoștințe noi.

Progresul lecției

1. Pe care dintre conceptele scrise pe tablă le cunoaștem:

- Sofistica matematică (dovada cu eroare de gasit)

- Paradoxul matematic(o afirmație care poate fi considerată atât adevărată, cât și falsă)

- bandă Möbius(figura topologică având o latură infinită)

- Patrat magic

Tema lecției noastre este „Pățara magică”

Voi începe cu o legendă conform căreia împăratul chinez Yiyu, care a trăit în urmă cu patru mii de ani, a văzut odată pe malul unui râu o țestoasă sacră cu un model de cercuri albe și negre pe coaja ei. Împăratul iute la minte a înțeles imediat sensul acestui desen. Încearcă și tu să-l definești.

Aflați suma numerelor reprezentate prin cercuri în fiecare rând, coloană și diagonală

Suma numerelor din fiecare rând, coloană și diagonală este 15.

Acest pătrat în matematică este numit magie. Proprietățile pătratelor magice au fost considerate magice atât în ​​China antică, cât și în Europa medievală. Pătratele magice serveau drept talismane, protejându-i pe cei care le purtau de diverse necazuri.

Gravura artistului german Albrecht Dürer „Melancolie” (1514) înfățișează și un pătrat. Demonstrează că este magic.

Suma cifrelor din fiecare rând, coloană și diagonală este 34.

Există și alte proprietăți interesante în această piață. Aflați suma numerelor din pătratele de 2 cu 2, în toate celulele din colț.

Și acum că am învățat puțin despre ce este un pătrat magic, încercați să formulați scopul lecției noastre. (Învață să completezi). Sarcini? (Învață regula, exersează).

Cum se face un pătrat magic?

Numărul de celule de-a lungul unei laturi a pătratului este notat cu litera n și se numește ordinea pătratului. Există un pătrat de orice ordin, cu excepția celui de-al doilea. Cel mai simplu (trivial) este un pătrat de ordinul I, format dintr-o celulă. Cele mai simple pătrate magice se potrivesc numerelor naturale de la 1 la n2 + 1

Suma numerelor din fiecare rând, fiecare coloană și pe orice diagonală a pătratului magic numită constanta magică M. Constanta magică n este determinată de formula:

Găsiți constanta magică pentru un pătrat de ordinul 3 (15), ordinul 4 (34), ordinul 5 (65).

Vom începe prin a construi cel mai simplu pătrat magic de ordinul trei. Știm că suma tuturor numerelor pe orizontală, verticală și diagonală este 15. Alcătuiți toate sumele posibile de triplete de numere de la 1 la 9 care au ca rezultat 15.

Ce număr apare cel mai des? (de 5 - 4 ori) Aceasta înseamnă că numărul 5 ar trebui să fie la intersecția a 4 rânduri ale tabelului. Unde ar trebui să fie? (În centrul mesei). Distribuiți singur numerele rămase.

Ce pătrate ai luat?

Dacă înfășurați un pătrat „magic” de 4x4 în jurul unui cadru dreptunghiular, puteți descoperi o serie de alte proprietăți.

suma celor patru numere din jurul cadrului în orice direcție este 34

suma a patru numere care apar în fiecare colț cu exteriorul și în fiecare colț cu interior egal cu 34

suma a patru numere de aceeași culoare este 34

dacă adăugați numerele într-o spirală în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic în jurul cadrului, începând de oriunde - 34.

Să rezumam. Ne-am atins scopul?

Cercul de resurse. Ce lucruri noi ai învățat, impresiile tale despre lecție. Ne-am transmis tetraedrul unul altuia - acest corp geometric are și proprietăți neobișnuite. Și vom afla ce fel sunt ei la una dintre clasele clubului.

Fișe

Patrat magic n - ordinul pătratului pătrat magic, n = 3

Patrat magic n - ordinul pătratului M - constanta magică a pătratului pătrat magic, n = 3 9 = 1 + 5 + 9, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = 2 + 5 + 8, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________, 9 = ______________.

Din adancul secolelor Sacru, magic, misterios, misterios, perfect... Imediat ce au fost chemati! „Nu știu nimic mai frumos în aritmetică decât aceste numere, numite planetare de unii și magice de alții”, a scris despre ele celebrul matematician francez, unul dintre creatorii teoriei numerelor, Pierre de Fermat.

Un pătrat magic de ordinul al n-lea este un tabel pătrat de dimensiunea n×n, umplut cu numere naturale de la 1 la n 2, ale căror sume sunt aceleași pe toate rândurile, coloanele și ambele diagonale. Există pătrate magice de ordine par și impar (în funcție de paritatea lui n).

Cel mai „vechi” pătrat magic care a ajuns până la noi este masa Luo Shu (aproximativ 2200 î.Hr.)

Pătratul magic de ordinul 4 era cunoscut de vechii hinduși. Este interesant pentru că păstrează proprietatea de a fi magic după rearanjarea secvențială a rândurilor (coloanelor)

Pătratul Dürer are o dimensiune de 4x4 și este format din primele șaisprezece numere naturale, a căror sumă în fiecare rând, coloană și diagonală este egală cu

Se dovedește că 34 este, de asemenea, egal cu suma celorlalte patru numere: cele situate în centru, în celulele de colț, pe laturile pătratului central și formând, de asemenea, patru pătrate egale în care poate fi împărțit pătratul original.

Cum se construiește un pătrat magic? Mulți matematicieni caută modalități de a compune pătrate magice. Regulile cunoscute în prezent pentru construirea unor astfel de pătrate sunt împărțite în trei grupuri, în funcție de ordinea pătratului. Cu toate acestea, o metodă generală de construcție încă nu există.

Scriem toate numerele naturale de la 1 la 25 în celule în diagonală (5 pe rând), astfel încât să obținem un pătrat în diagonală

Selectați un pătrat de 5x5 în centru. Va sta la baza viitorului pătrat magic

Mutăm fiecare număr situat în afara pătratului central din interior - în partea sa opusă, deplasându-se cu 5 celule

Pătratul magic este gata

Să umplem celulele linie cu linie cu aceste numere, deplasându-ne de la stânga la dreapta și de sus în jos, în timp ce sărim peste cele care corespund celulelor umplute

Să umplem celulele selectate în primul pas cu numerele lipsă în ordine crescătoare, deplasându-ne de la dreapta la stânga și de jos în sus. Pătratul magic este construit

Să luăm în considerare modalități de a construi un pătrat magic de orice ordine uniformă. În toate cazurile, tabelul n×n este completat de la stânga la dreapta și de sus în jos cu numere naturale de la 1 la n 2 în ordinea lor naturală. Apoi, după o anumită regulă, numerele din unele celule sunt rearanjate, după care pătratul devine magic.

Împărțiți pătratul plin cu numere de la 1 la 64 în pătrate de ordinul al 4-lea

În fiecare rând și coloană a pătratului din stânga sus, colorați două celule într-un model de șah.

Pentru fiecare dintre celulele marcate, evidențiați cu aceeași culoare pe cea care este simetrică față de aceasta față de axa verticală

Rearanjam numărul din fiecare dintre cele șaisprezece celule umbrite cu numărul din celula simetrică centrală corespunzătoare

Construcția pieței este finalizată

De exemplu, să luăm un pătrat de 10x10. Împărțiți pătratul plin cu numere de la 1 la 100 în pătrate de ordinul al 5-lea

În pătratul din stânga sus vom picta trei grupuri de celule cu culori diferite, fiecare rând și fiecare coloană conținând două celule din primul grup și una din al doilea și al treilea. Folosiți aceeași culoare pentru a evidenția celulele situate de-a lungul diagonalei pătratului și liniile paralele cu acesta

Celulele care sunt simetrice față de celulele primului grup în raport cu axa verticală vor fi vopsite cu aceeași culoare.

Numărul din fiecare dintre celulele marcate este rearanjat cu numărul din celula simetrică centrală corespunzătoare

Conținutul fiecărei celule a celui de-al doilea grup va fi schimbat cu conținutul celulei simetric față de aceasta față de axa orizontală a pătratului

Conținutul fiecărei celule a celui de-al treilea grup va fi schimbat cu conținutul celulei care este simetrică față de aceasta față de axa verticală a pătratului
36 Întrebări În timp ce am studiat cum să construim pătrate magice, mi-am dat seama că este important să le cunoaștem constantele, adică suma numerelor din orice rând, coloană sau diagonală. Desigur, dacă pătratul este construit și valoarea lui n este mică, atunci suma poate fi calculată. A Ce să faci dacă pătratul nu a fost încă construit? Și Sau trebuie să verificați dacă un anumit pătrat este magic? Și cum să construim pătratul în sine fără a-i cunoaște constanta?

Prezentarea a fost pregătită de Kuznetsov A, clasa 9A, Școala Nr.27

Slide 2: 1

Un pătrat magic este un pătrat format din n coloane și n rânduri, în fiecare celulă din care este scris un număr. Numerele din pătrat sunt plasate astfel încât fiecare rând orizontal, vertical și diagonal să dea același total.

Slide 3

Cel mai vechi pătrat magic din lume este prezentat mai sus. Cercurile negre din acest pătrat reprezintă numere pare (feminine), iar cercurile albe reprezintă numere impare (masculin). În înregistrarea normală nu este atât de eficient: 6 1 8 7 5 3 2 9 4

Slide 4: Pătrat magic de ordinul 5

S-a dovedit că există mai mult de 13 milioane de pătrate magice de ordinul al 5-lea

Slide 5: Piața Magică Pitagora

Pitagora a creat o metodă de construire a unui pătrat, prin care se poate cunoaște caracterul unei persoane, starea sănătății sale și potențialul său și să-i dezvăluie avantajele și dezavantajele.

Slide 6: pătratul magic al lui Durer

În dreptul ei colțul de sus Este plasat un pătrat magic de ordinul 4. Suma numerelor din fiecare rând este 34. Pătratul magic al lui Durer

Slide 7: Proprietățile pătratului magic al lui A. Durer

Pătratele magice au pătruns în Europa abia la începutul secolului al XV-lea. Iar la începutul secolului al XVI-lea, unul dintre ele a fost imortalizat de remarcabilul artist, gravor și oarecum matematician german A. Dürer în cea mai bună gravură „Melancolie” (1514). Dürer a reprodus în gravură (într-o formă ușor modificată) același pătrat magic format din 16 numere. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Farmecul acestui pătrat magic nu se află doar în constanța sumelor, care este doar principala sa proprietate. Așa cum într-o operă cu adevărat artistică găsești mai multe aspecte noi atractive cu cât te uiți mai mult la ea, tot așa și în această operă de artă matematică sunt ascunse multe proprietăți frumoase, pe lângă cea principală.

Slide 8: Proprietățile pătratului magic al lui A. Durer

Dacă toate coloanele unui pătrat magic sunt făcute în rânduri, menținându-le alternanța, adică numerele primei coloane sunt aranjate în aceeași ordine ca primul rând, numerele celei de-a doua coloane ca al doilea rând etc. , atunci pătratul va rămâne magic cu aceleași proprietăți . Sumele numerelor de-a lungul rândurilor și coloanelor, desigur, nu s-au schimbat, dar sumele numerelor de-a lungul diagonalelor au devenit diferite, nu egale cu 34. Pătratul magic și-a pierdut unele dintre proprietățile sale de bază și a devenit un pătrat magic „incomplet” (pătrat semi-magic). Pe măsură ce continuați să schimbați rândurile și coloanele pătratului, veți primi din ce în ce mai multe pătrate magice și semi-magice de 16 numere. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Când rândurile sau coloanele individuale ale unui pătrat magic sunt schimbate, unele dintre proprietățile de mai sus pot dispărea, dar toate pot fi păstrate și chiar pot apărea altele noi. De exemplu, dacă schimbăm primul și al doilea rând al acestui pătrat, obținem ceea ce este arătat în figura din dreapta: Proprietățile pătratului magic al lui A. Durer

Slide 9: Pătrate de ordine divizibile cu patru

Pentru a crea orice pătrat magic de ordinul n=4,8,12,4k, de exemplu, este convenabilă următoarea schemă simplă: Așezați numerele în celulele unui pătrat dat în ordine crescătoare (în ordine naturală); Selectați patru pătrate cu laturile n/4 la colțurile unui pătrat dat și un pătrat cu latura n/2 în centru. În cele cinci pătrate selectate, schimbați numerele situate simetric față de centrul pătratului dat; aceasta înseamnă că în aranjarea naturală a numerelor unui pătrat de ordinul al patrulea, 1 și 16, 4 și 13, 6 și 11, 7 și 10 trebuie schimbate Pătratele compuse conform schemei indicate vor fi întotdeauna magic simetrice. 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10

Ultimul slide de prezentare: Pătrate magice: asta e tot

Materialul a fost preluat de pe Internet, și în special de pe site-ul ru.wikipedia.org